Πρόλογος

   Το βιβλίο αυτό δεν εγράφη για να αντικαταστήσει τα Σχολικά βιβλία αλλά για να αποτελέσει ένα επί πλέον βοήθημα στους ασχολουμένους με την Μαθηματική Επιστήμη και κυρίως αυτούς που επιθυμούν να πατήσουν το κατώφλι της Μαθηματικής σκέψης και να αποκτήσουν το χάρισμά της.

   Όπως θα αντιληφθεί ο αναγνώστης απέφευγα να επαναλάβω την Σχολική ύλη με θεωρία και αποδείξεις.

   Εδώ υπάρχουν βασικές επισημάνσεις και είναι εμπλουτισμένο με πληθώρα εφαρμογών και ασκήσεων σε κάθε ενότητα τονίζοντας με παρατηρήσεις ορισμένες χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

   Οι εφαρμογές που αναφέρονται σ’ αυτό δίδουν την δυνατότητα στους αναγνώστες να ακολουθήσουν την σωστή μεθοδολογία, ν’ αυτενεργήσουν εκεί που χρειάζεται και ν’ αποκτήσουν όσο το δυνατό μεγαλύτερη ευχέρεια στη λύση προβλημάτων.

   Η ύλη του βοηθήματος αυτού κατανέμεται σε πέντε μέρη και ένα παράρτημα.

   Το πρώτο μέρος (Άλγεβρα και Τριγωνομετρία) έχει 3 κεφάλαια και περιλαμβάνει:

   Βασικά στοιχεία, Τύπους, Εφαρμογές και ασκήσεις από ριζικά, Ταυτότητες, Εξισώσεις, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα, Μελέτη συναρτήσεων, Τριγωνομετρικούς τύπους, Τριγωνομετρικές εξισώσεις, Τριγωνομετρικές ανισώσεις, Συστήματα.

   Στοιχεία πινάκων, Μιγαδικούς αριθμούς, Συστήματα και Εφαρμογές με ασκήσεις.

   Το δεύτερο μέρος (Ανάλυση) έχει 4 κεφάλαια και περιλαμβάνει:

   Συναρτήσεις, Σπουδή μονοτονίας, Ακρότατα, Φραγμένες και αντίστροφες συναρτήσεις, Σύνθεση συναρτήσεων και Γραφικές παραστάσεις με Εφαρμογές και Ασκήσεις.

   Το τρίτο μέρος (Ανάλυση – Παράγωγοι) έχει 2 κεφάλαια και περιλαμβάνει:

   Όρια και Σύγκλιση Συναρτήσεων, Απροσδιόριστες μορφές, Συνέχεια Συναρτήσεων, Παράγωγοι, Ιδιότητες, Θεωρήματα Παραγώγων, Ασύπτωτες ευθείες, Μελέτη συναρτήσεων, Ακρότατα, Γραφικές παραστάσεις. Εφαρμογές, Ασκήσεις.

   Το τέταρτο μέρος (Ολοκληρωτικός Λογισμός) έχει 2 κεφάλαια και περιλαμβάνει:

   Ολοκληρώματα, Αόριστο και Ορισμένο ολοκλήρωμα. Τρόποι ολοκληρώσεως. Διαφορικές εξισώσεις. Εφαρμογές, Ασκήσεις.

   Το πέμπτο μέρος (Αναλυτική Γεωμετρία – Διανυσματικός) έχει 3 κεφάλαια και περιλαμβάνει:

   Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας και Διανυσματικού. Μελέτη της ευθείας στο επίπεδο διάφορες μορφές. Εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο, Διανυσματικός Υπόχωρος, Κωνικές τομές. Εφαρμογές και Ασκήσεις.

   Το έκτο μέρος είναι το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.

   Αποτελείται από Υποδειγματικές Εφαρμογές και Ασκήσεις. Επίσης περιέχει μερικά θέματα από τα ζητήματα που ετέθησαν κατά καιρούς στις εισαγωγικές εξετάσεις των Πανελλαδικών.

Α΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ – ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ)

1.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Εξισώσεις – Ορίζουσες – Συστήματα - Μιγαδικοί
1.1.1 Βασικά στοιχεία Ριζικών
1.1.2 Ταυτότητες, Αξιοσημείωτα πηλίκα
1.1.3 Ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
1.1.4 Εξισώσεις με ριζικά
1.1.5 Ορίζουσες 
1.1.6 Λύση γραμμικών συστημάτων
1.1.7 Εξισώσεις βου βαθμού – Πρόσημο τριωνύμου
1.1.8 Κλασματικές ανισώσεις
1.1.9 Πολυωνυμικές εξισώσεις
1.1.10 Αντίστροφες εξισώσεις
1.1.11 Διώνυμες εξισώσεις
1.1.12 Τριώνυμες εξισώσεις
1.1.13 Μιγαδικοί αριθμοί
1.2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις – Ανισώσεις
1.2.1 Τριγωνομετρία, διάφοροι χρήσιμοι τύποι, Εφαρμογές τριγωνομετρικών ταυτοτήτων υπό συνθήκες, Μετασχηματισμός τριγωνικών παραστάσεων σε γινόμενο, Εφαρμογές και Ασκήσεις
1.2.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις, εφαρμογές, Τριγωνομετρική λύση της αx2 + βx + γ = 0
1.2.3 Τριγωνομετρικές ανισώσεις, Εφαρμογές
1.2.4 Άρρητες τριγωνομετρικές εξισώσεις, Εφαρμογές και Ασκήσεις
1.3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Πίνακες – Γραμμικά Συστήματα
1.3.1 Στοιχεία από τους πίνακες
1.3.2 Περί συστημάτων
1.3.3 Ασκήσεις και εφαρμογές
1.3.4 Γενικές εφαρμογές και ασκήσεις

Β΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)

2.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Συναρτήσεις
2.1.1 Ορισμοί, βασικοί τύποι συναρτήσεων
2.1.2 Αντίστροφη και Αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση
2.1.3 Συναρτήσεις, ορισμένη συνάρτηση, ταυτοτική, πολλαπλού τύπου κλπ
2.1.4 Παρατηρήσεις, μονοτονία, εφαρμογές
2.1.5 Ακρότατα συναρτήσεων, φραγμένη συνάρτηση
2.1.6 Περιορισμός συναρτήσεων
2.1.7 Σύνθεση συναρτήσεων, τύποι και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, ακρότατα, εφαρμογές, ασκήσεις
2.2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Γενικές Εφαρμογές
2.2.1 Γενικές εφαρμογές
2.2.2 Γενικές ασκήσεις
2.3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Όριο – Σύγκλιση
2.3.1 Όρια – Σύγκλιση Συναρτήσεων, Κριτήριο Σύγκλισης κατά Cauchy – Εφαρμογές
2.3.2 Σύγκλιση Συναρτήσεων κατά Heine
2.3.3 Απροσδιόριστες μορφές – Παρατηρήσεις – Εφαρμογές
2.3.4 Εφαρμογές Ορίων
2.3.5 Ασκήσεις Ορίων
2.4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Συνέχεια συνάρτησης
2.4.1 Συνέχεια Συναρτήσεων
2.4.2 Εφαρμογές στη Συνέχεια Συναρτήσεων
2.4.3 Ασκήσεις στη Συνέχεια Συναρτήσεων

Γ΄ ΜΕΡΟΣ (ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ)

3.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Παράγωγοι – Θεωρήματα
3.1.1 Παράγωγοι Συναρτήσεων – Ιδιότητες
3.1.2 Γεωμετρική Σημασία της Παραγώγου
3.1.3 Θεωρήματα Παραγώγων – Ασύμπτωτες
3.1.4 Εφαρμογές Παραγώγων
3.1.5 Ασκήσεις Παραγώγων
3.2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Ακρότατα – Γραφικές Παραστάσεις
3.2.1 Ακρότατα Συναρτήσεων – Γραφικές Παραστάσεις
3.2.2 Μελέτη της f(x) = αx + β γx + δ
3.2.3 Μελέτη του τριωνύμου y = αx2 + βx + γ
3.2.4 Εφαρμογές και Ασκήσεις

Δ΄ ΜΕΡΟΣ (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ)

4.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Αόριστο Ολοκλήρωμα – Διαφορικές Εξισώσεις
4.1.1 Ολοκληρώματα
4.1.2 Διαφορικό – Αόριστο Ολοκλήρωμα
4.1.3 Πίνακας Ολοκληρώσεως Στοιχειωδών Συναρτήσεων
4.1.4 Γενικές Υποδείξεις και Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
4.1.5 Παρατηρήσεις
4.1.6 Τρόποι ολοκληρώσεως
4.1.7 Εφαρμογές και Ασκήσεις Αορίστων Ολοκληρωμάτων
4.1.8 Διαφορικές εξισώσεις
4.2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Ορισμένο Ολοκλήρωμα – Εμβαδά
4.2.1 Ορισμένα ολοκληρώματα
4.2.2 Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώματος
4.2.3 Εφαρμογές και Ασκήσεις Ορισμένου Ολοκληρώματος

Ε΄ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ – ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ)

5.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: Στοιχεία Αναλυτικής - Διανυσματικού
5.1.1 Στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας
5.1.2 Ευθεία στο επίπεδο διάφορες μορφές της, παραλληλία, καθετότητα, ταύτιση ευθειών κλπ
5.1.3 Στοιχεία διανυσματικού, πράξεις και εφαρμογές στα διανύσματα – Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο
5.1.4 Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων, διανυσματικοί υπόχωροι, βάσεις, γραμμική ανεξαρτησία και εξάρτηση 
5.1.5 Εφαρμογές, ασκήσεις
5.2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Εφαρμογές – Ασκήσεις
5.2.1 Εφαρμογές και Ασκήσεις Αναλυτικής πάνω στις Ευθείες
5.2.2 Εφαρμογές και Ασκήσεις Διανυσματικού
5.3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Κωνικές τομές
5.3.1 Κωνικές τομές: Κύκλος, Έλλειψη, Παραβολή, Υπερβολή
5.3.2 Εφαρμογές και Ασκήσεις 

ΣΤ΄ ΜΕΡΟΣ (ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ)

Το Παράρτημα αυτό αποτελείται από:
Υποδειγματικές Ασκήσεις και από μερικά Θέματα των Ζητημάτων που
ετέθησαν στις Πανελλήνιες Εισαγωγικές Εξετάσεις κατά το παρελθόν

     Ο  Νικόλαος  Ξ. Γρυλλάκης  γεννήθηκε  στον  Αλίκαμπο  Αποκορώνου Χανίων. Είναι πτυχιούχος Μαθηματικών με μεταπτυχιακές σπουδές στη Μετεωρολογία και στην Εφηρμοσμένη Στατιστική  στο Πανεπιστήμιο Rutgers του New Jersey των Η.Π.Α. Υπήρξε  διευθυντικό  στέλεχος  της  Ε.Μ.Υ. και έχει διδάξει  σε παραγωγικές  Σχολές της  Αεροπορίας ΣΤΥΑ, Σ.Ι. και Μετεωρολόγων. Επίσης δίδαξε επί σειρά ετών στις Σχολές πλοιάρχων του  Εμπορικού Ναυτικού στον  Ασπρόπυργο, την Κύμη και  το  ΚΕΣΕΝ.